Khôlle PCSI n^{o} 1 : ℝ et ℂ

Questions de cours

• Inégalités triangulaires

• Définition de la borne supérieure

• Compatibilité de la relation d’ordre avec l’addition ou la multiplication

• Formules de transformation de sommes en produits

• Résolution de e^{z} = a

• Détermination des racines n^{ème} de l’unité

• Résolution de az^{2} + bz + c = 0 avec (a, b, c) ∈ ℂ^{3}

ℝ et ses propriétés

1. Pour a > 1, simplifier \overline{a + 2\sqrt{a − 1}} + \overline{a − 2\sqrt{a − 1}}.

2. Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ ℝ : \overline{x + 3 − 4\sqrt{x − 1}} + \overline{x + 8 − 6\sqrt{x − 1}} = 1.

3. Résoudre dans ℝ l’équation \overline{x + \sqrt{a − x}} = a, puis 2x − 5 ⩽ \sqrt{3x^{2} − 8x − 10}.

4. Montrer que ∀n ∈ ℕ^{∗}, ∃ α ∈ ℕ^{∗} / 1 + \sqrt{2} ^{n} = \sqrt{α} + \sqrt{α − 1}.

5. Soit a ∈ ℚ^{+} tel que \sqrt{a} ∉ ℚ. Montrer qu’il existe C > 0 tel que ∀r = \frac{p}{q} ∈ ℚ, |r − \sqrt{a}| ⩾ \frac{C}{q^{2}} .

6. Soit n ∈ ℕ^{∗}.

(a) Montrer que ∃ (a_{n}, b_{n}) ∈ ℕ^{∗}^{2} / 2 + \sqrt{3} ^{n} = a_{n} + b_{n}\sqrt{3}, avec 3b_{n}^{2} = a_{n}^{2} − 1.

(b) Montrer que la partie entière de 2 + \sqrt{3} ^{n} est un entier impair.

7. Montrer que • ∀ (x, y) ∈ ℝ^{2}, ⌊x⌋ + ⌊x + y⌋ + ⌊y⌋ ⩽ ⌊2x⌋ + ⌊2y⌋

• ∀n ∈ ℕ^{∗}, ∀x ∈ ℝ, \frac{⌊nx⌋}{n} = ⌊x⌋

• ∀x ∈ ℝ, 0 ⩽ ⌊2x⌋ − 2 ⌊x⌋ ⩽ 1 et −2 ⩽ 3 ⌊2x⌋ − 2 ⌊3x⌋ ⩽ 1

• ∀n ∈ ℕ^{∗}, ∀x ∈ ℝ, ∑_{k=0}^{n−1} x + \frac{k}{n} = ⌊nx⌋

8. Soit E = x ∈ ℚ / x^{2} < 2 . Montrer que E est majorée, mais n’admet pas de plus grand élément ni de borne supérieure dans ℚ.

9. Soit ε ⩾ 0 tel que ∀x ∈ ℝ^{∗+}, x ⩾ ε. Montrer que ε = 0.

10. Soit A bornée inclue dans ℝ, non vide. Montrer que sup_{(x,y)∈A^{2}} |x − y| = sup A − inf A.

11. Soient A et B deux parties non vides et bornées de ℝ. Montrer que A ∩ B est bornée, et que

sup (inf A, inf B) ⩽ inf (A ∩ B) ⩽ sup (A ∩ B) ⩽ inf (sup A, sup B)

Étudier les inégalités strictes.

12. Soient A et B deux parties majorées de ℝ. Soit C = A + B = {z = a + b, a ∈ A, b ∈ B}. (a) Montrer que C est majorée, et que sup C = sup A + sup B.

(b) A-t-on un résultat analogue pour D = AB ?

(c) f et g sont deux applications majorées de X dans ℝ.

Montrer que f + g est majorée, et que sup (f + g) ⩽ sup f + sup g.

13. Soient A et B deux parties non vides bornées de ℝ.

Montrer que A ∪ B est bornée, et que sup (A ∪ B) = sup (sup A, sup B).

14. Soient A et B deux parties non vides de ℝ, telles que A est majorée et B ⊂ A.

Montrer que B est majorée et que sup B_{l}e sup A.

15. Bornes supérieures et inférieures de \frac{p − q}{p + q + 1}, (p, q) ∈ ℕ^{2}, 0 < q < p .

16. Soit X une partie non vide et majorée de ℝ. Montrer que ∀x ∈ X, sup X = sup (X ∩ [x, +∞[).

17. Soit I un ensemble de réels non vide, distinct de ℝ, tel que ∀x ∈ I, ∀y ⩾ x, y ∈ I. Montrer que I est de la forme ][a, +∞[.

18. Soient I et J deux intervalles de ℝ. Montrer que I + J (= {i, j, i ∈ I, j ∈ J}) est un intervalle.

19. En étudiant f : ℝ → ℝ, x ↦ (a_{i}x + b_{i})^{2}, montrer l’inégalité de Cauchy-Schwartz :

( ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}) ^{2} ⩽ ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2} ∑_{i=1}^{n} b_{i}^{2}

ℂ, application à la trigonométrie

1. Simplifier \frac{3\sqrt{3} − i}{\sqrt{3} + 2i} ^{25}, (1 + i)^{n} + (1 − i)^{n}, \begin{matrix}(1 + i) & 4 \\ (1 − i) & 3 \end{matrix} + \begin{matrix}(1 − i) & 4 \\ (1 + i) & 3 \end{matrix} .

2. Module et argument de \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 − i} ^{2} 0, \frac{1 + \sqrt{2} + i}{1 + \sqrt{2} − i} ^{2} 0 et \frac{1 + sin θ + i cos θ}{1 + sin θ − i cos θ}.

3. Montrer que pour tout couple (u, v) de complexes, |u + v|^{2} + |u − v|^{2} = 2 |u|^{2} + |v|^{2} . Interprétation géométrique ?

4. Soient a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} n2 entiers relatifs.

Montrer qu’il existe deux entiers A et B tels que ∏_{k=1}^{n} a_{k}^{2} + b_{k}^{2} = A^{2} + B^{2}

(indication : = ∏_{k=1}^{n} |a_{k} + ib_{k}| = | ∏_{k=1}^{n} (a_{k} + ib_{k})^{2}|)

5. Donner les extremas du module de la fonction A : z ↦ z + \frac{1}{z} ^{9} + z − \frac{1}{z} ^{9}, z étant de module 1.

6. Résoudre l’équation z^{2} = \frac{35}{4} + 3i.

7. Résoudre l’équation x^{2} − 5x + 10 − 2i = 0.

8. Résoudre dans ℂ l’équation |z + \frac{1}{z}| = 2.

9. Chercher les racines de X^{8} + X^{4} + 1 = 0.

10. Résoudre :

• (z + 1)^{n} = (z − 1)^{n} ; • (z + 1)^{n} = z^{n} = 1 ; • z^{4} − z^{3} + z^{2} − z + 1 = 0 ; • \frac{1 + ix}{1 − ix} ^{n} = \frac{1 + i tan α}{1 − i tan α}  {• x̄ = x^{n−1} \atop • \frac{z + 1}{z − 1} ^{3} + \frac{z − 1}{z + 1} ^{3} = 0.}

11. Résoudre • z + z̄ + j (z + 1) + 2 = 0 (solutions : α + j (α + 1) , α ∈ ℝ).

• z^{4} − (5 − 14i) z^{2} − 2 (5i + 12) = 0 (solutions : 1 − i, −1 + i, 3 − 2i, 2i − 3).

• |z| = | \frac{1}{z}| = |1 − z| (solutions : −j, −j^{2}).

12. Résoudre :

• z^{7} + C_{7}^{2} z^{5} + C_{7}^{4} z^{3} + C_{7}^{6} z = 0 (indication : utiliser (z + 1)^{7} + (z − 1)^{7}).

• 1 + 2z + 2z^{2} + ⋯ + 2z^{n−1} + z^{n} = 0

• 3z^{2} + z + 1 ^{2} + z^{2} + 2z + 2 ^{2} = 0 (indication : ( \frac{3z^{2} + z + 1}{z^{2} + 2z + 2}) ^{2} = −1...).

13. On pose \frac{z + i}{z − i} = w, résoudre w^{3} + w^{2} + w^{1} = 0 (solutions : −1, 0, 1).

14. ω^{n} = 1, avec n ⩾ 2. Évaluer :

• ∑_{k=0}^{n−1} (k + 1) ω^{k} (indication : multiplier par 1 − ω).

• ∑_{k=0}^{n−1} ω^{kp}, p ∈ ℤ

• ∑_{k=0}^{n−1} C_{n}^{k} ω^{k} (= (1 + ω)^{n} − ω^{n} = 2^{n} cos^{n} \frac{pπ}{n} (−1)^{p} − 1 si ω = e^{\frac{2ipπ}{n}}).

• ∑_{k=0}^{n−1} |ω^{k} − 1| où ω = e^{\frac{2iπ}{n}} (indication : = 2 ∑_{k=0}^{n−1} |sin \frac{kπ}{n} |).

15. Soit ω = e^{\frac{2iπ}{n}}. Calculer ∑_{k=0}^{n−1} 1 + ω^{k} ^{n} et ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{l=k}^{n−1} C_{l}^{k} ω^{k+l}.

16. Soit β une racine septième de l’unité différente de 1. Montrer que \frac{β}{1 + β^{2}} + \frac{β^{2}}{1 + β^{4}} + \frac{β^{3}}{1 + β^{6}} = −2. (indication : profiter de ∑_{i=0}^{6} k^{i} = 0 et β^{7} = 1).

17. Calculer A = C_{n}^{0} + C_{n}^{3} + …, B = C_{n}^{1} + C_{n}^{4} + …, C = C_{n}^{2} + C_{n}^{5} + … (indication : calculer A + B + C, A + jB + j^{2}C et A + j^{2}B + jC).

18. Montrer que sin \frac{π}{5} = \overline{\frac{5 − \sqrt{5}}{8}}.

19. Montrer que 1 + 2 cos \frac{2π}{5} + 2 cos \frac{4π}{5} = 0, en déduire les valeurs de cos \frac{2π}{5} et cos \frac{4π}{5} .

20. Montrer que ∀n ∈ ℕ^{∗}, ∀θ ∈ ℝ, ∑_{k=0}^{n−1} cos θ + \frac{2kπ}{n} = ∑_{k=0}^{n−1} sin θ + \frac{2kπ}{n} = 0

(indication : ce sont les parties réelle et imaginaire de la somme des racines de e^{inθ}).

21. Calculer ∑_{k=0}^{n} cos (a + kb), ∑_{k=0}^{n} sin (a + kb), ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k} cos (a + kb) et ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k} sin (a + kb) (indication : penser à C + iS).

22. Calculer ∑_{k=0}^{n} k^{p} sin kx (et bien sûr ∑_{k=0}^{n} k^{p} cos kx).

23. Transformer cos 3x + cos 5x en polynôme en cos x.

24. Résoudre sin 2x − sin 3x + sin 4x = 0.

25. Linéariser 2 cos^{4} x sin^{3} x + cos^{3} x sin^{2} x.

26. Résoudre ∑_{k=0}^{n−1} \frac{cos kx}{cos^{k} x} = 0 (indication : penser à ∑_{k=0}^{n−1} \frac{sin kx}{cos^{k} x} = 0).

27. (a) Factoriser le polynôme P = 1 + X + ⋯ + X^{n−1}.

(b) Calculer ∏_{k=0}^{n−1} e^{\frac{2ikπ}{n}} − 1 .

(c) En déduire la valeur de A = sin \frac{π}{n} sin \frac{2}{n} … sin \frac{(n − 1) π}{n}.

28. Résoudre dans ℝ le système : \begin{matrix}cos a + cos (a + x) + cos (a + y) = 0 \\ sin a + sin (a + x) + sin (a + y) = 0 \end{matrix} .

29. Montrer que \frac{1}{2} + cos x + cos 2x + ⋯ + cos 2nx = \frac{sin (2n + 1) x}{2 sin x}.

30. ABCD est un carré. On suppose C et D de coordonnées entières. Montrer que A et B le sont aussi.

31. Montrer que si ABC est un triangle équilatéral, A, B et C ne sont pas tous de coordonnées entières.

32. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

• \frac{z − 1 − i}{z + 1} ∈ ℝ (solutions : y = \frac{x + 1}{2}).

• O est l’orthocentre de z, z^{2}, z^{3} (solutions : 0, 1, j, j^{2}).

• z, z^{2}, z^{3} est un triangle rectangle (solutions : (y′y) ∪ (D) ∪ (C), (D) : x + 1 = 0, (C) cercle de centre −\frac{1}{2}, 0 de rayon \frac{1}{2}).

• 1, z, \frac{1}{z}, 1 − z sont cocycliques (solutions : (x′x) ∪ (C), (C) cercle de centre \frac{1}{2}, 0 de rayon \frac{\sqrt{3}}{2}).

• i, z, iz est un triangle équilatéral (solutions : \frac{−1 ± \sqrt{3}}{2} (1 + i)).

33. Démontrer que A, B, C d’affixes respectifs a, b, c forment un triangle équilatéral si et seulement si a^{2} + b^{2} + c^{2} − ab − ac − bc = 0