\documentclass{exo2000}

\title{Khôlle PCSI \numero1 : $\R$ et $\C$}

\begin{document}
\maketitle
\ligne
\titre{Questions de cours}
\begin{itemize}
\item Inégalités triangulaires
\item Définition de la borne supérieure
\item Compatibilité de la relation d'ordre avec l'addition ou la
  multiplication
\item Formules de transformation de sommes en produits
\item Résolution de $e^z=a$
\item Détermination des racines $n$\ieme{} de l'unité
\item Résolution de $az^2+bz+c=0$ avec $(a,b,c)\in\C^3$
\end{itemize}
\ligne
\titre{$\R$ et ses propriétés}
\begin{enumerate}
\item Pour $a>1$, simplifier $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}} +
  \sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$.
\item Résoudre l'équation d'inconnue $x\in\R$ :
  $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} = 1$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\sqrt{x+\sqrt{a-x}}=a$, puis
  $2x-5\le \sqrt{3x^2-8x-10}$.
\item Montrer que $\forall n\in\N^\ast,\,\exists\,\alpha\in\N^\ast\tq
  (1+\sqrt{2})^n=\sqrt\alpha + \sqrt{\alpha-1}$.
\item Soit $a\in\Q^+$ tel que $\sqrt a\notin\Q$. Montrer qu'il existe
  $C>0$ tel que $\forall r=\frac{p}{q}\in\Q,\,\abs{r-\sqrt
    a}\ge\frac{C}{q^2}$.
\item Soit $n\in\N^\ast$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\exists\,(a_n,b_n)\in{\N^\ast}^2\tq
    (2+\sqrt3)^n=a_n+b_n\sqrt3$, avec $3b_n^2=a_n^2-1$.
  \item Montrer que la partie entière de $(2+\sqrt3)^n$ est un entier
    impair.
  \end{enumerate}
\item Montrer que
  \begin{itemize}
  \item $\forall (x,y)\in\R^2,\,\Ent x +\Ent{x+y}+\Ent y
    \le\Ent{2x}+\Ent{2y}$
  \item $\forall n\in\N^\ast,\,\forall
    x\in\R,\,\Ent{\frac{\Ent{nx}}{n}} = \Ent x$
  \item $\forall x\in\R,\, 0\le\Ent{2x}-2\Ent x \le 1$ et $-2\le
    3\Ent{2x}-2\Ent{3x}\le1$
  \item $\forall n\in\N^\ast,\,\forall x\in\R,\, \sum_{k=0}^{n-1}
    \Ent{x+\frac{k}{n}} = \Ent{nx}$
  \end{itemize}
\item Soit $E=\left\{x\in\Q\tq x^2<2\right\}$. Montrer que $E$ est
  majorée, mais n'admet pas de plus grand élément ni de borne
  supérieure dans $\Q$.
\item Soit $\epsilon\ge0$ tel que $\forall
  x\in\R^{\ast+},\,x\ge\epsilon$. Montrer que $\epsilon=0$.
\item Soit $A$ bornée inclue dans $\R$, non vide. Montrer que
  $\sup_{(x,y)\in A^2} \abs{x-y}=\sup A-\inf A$.
\item Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et bornées de $\R$.
  Montrer que $A\cap B$ est bornée, et que
  $$\sup(\inf A,\inf B) \le \inf(A\cap B) \le \sup(A\cap B) \le
  \inf(\sup A,\sup B)$$
  Étudier les inégalités strictes.
\item Soient $A$ et $B$ deux parties majorées de $\R$. Soit
  $C=A+B=\left\{z=a+b,\,a\in A,\,b\in B\right\}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $C$ est majorée, et que $\sup C = \sup A + \sup
    B$.
  \item A-t-on un résultat analogue pour $D=AB$ ?
  \item $f$ et $g$ sont deux applications majorées de $X$ dans $\R$.
    
    Montrer que $f+g$ est majorée, et que $\sup(f+g)\le \sup f+\sup
    g$.
  \end{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux parties non vides bornées de $\R$.
  
  Montrer que $A\cup B$ est bornée, et que $\sup(A\cup B)=\sup(\sup
  A,\sup B)$.
\item Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\R$, telles que $A$
  est majorée et $B\subset A$.
  
  Montrer que $B$ est majorée et que $\sup B_le \sup A$.
\item Bornes supérieures et inférieures de
  $\left\{\frac{p-q}{p+q+1},\,(p,q)\in\N^2,\,0<q<p\right\}$.
\item Soit $X$ une partie non vide et majorée de $\R$. Montrer que
  $\forall x\in X,\,\sup X=\sup(X\cap [x,+\infty[)$.
\item Soit $I$ un ensemble de réels non vide, distinct de $\R$, tel
  que $\forall x\in I,\,\forall y\ge x,\,y\in I$.
  
  Montrer que $I$ est de la forme $]\kern-2.5pt[a,+\infty[$.
\item Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$. Montrer que
  $I+J(=\left\{i,j,\,i\in I,\,j\in J\right\})$ est un intervalle.
\item En étudiant $f:\R\to\R,\,x\mapsto (a_ix+b_i)^2$, montrer
  l'\emph{inégalité de Cauchy-Schwartz} : $$(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2 \le
  \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2$$
\end{enumerate}
\ligne
\titre{$\C$, application à la trigonométrie}
\begin{enumerate}
\item Simplifier $(\frac{3\sqrt3-i}{\sqrt3+2i})^{25}$,
  $(1+i)^n+(1-i)^n$, $\frac{(1+i)^4}{(1-i)^3} +
  \frac{(1-i)^4}{(1+i)^3}$.
\item Module et argument de $(\frac{1+i\sqrt3}{1-i})^20$,
  $(\frac{1+\sqrt2+i}{1+\sqrt2-i})^20$ et
  $\frac{1+\sin\theta+i\cos\theta}{1+\sin\theta-i\cos\theta}$.
\item Montrer que pour tout couple $(u,v)$ de complexes,
  $\abs{u+v}^2+\abs{u-v}^2 = 2(\abs{u}^2+\abs{v}^2)$.
  
  Interprétation géométrique ?
\item Soient $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $n2$ entiers relatifs.

  Montrer qu'il existe deux entiers $A$ et $B$ tels que $\prod_{k=1}^n
  (a_k^2+b_k^2) = A^2+B^2$
  
  \emph{(indication : $=\prod_{k=1}^n \abs{a_k+ib_k} =
    \abs{\prod_{k=1}^n (a_k+ib_k)^2}$)}
\item Donner les extremas du module de la fonction $A:z\mapsto
  (z+\frac{1}{z})^9+(z-\frac{1}{z})^9$, $z$ étant de module $1$.
\item Résoudre l'équation $z^2=\frac{35}{4}+3i$.
\item Résoudre l'équation $x^2-5x+10-2i=0$.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $\abs{z+\frac{1}{z}}=2$.
\item Chercher les racines de $\Xd^8+\Xd^4+1=0$.
\item Résoudre :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
    \item $(z+1)^n=(z-1)^n$
    \item $(z+1)^n=z^n=1$
    \item $z^4-z^3+z^2-z+1=0$
    \item $(\frac{1+ix}{1-ix})^n=\frac{1+i\tan \alpha}{1-i\tan
        \alpha}$
    \item $\bar x=x^{n-1}$
    \item $(\frac{z+1}{z-1})^3+(\frac{z-1}{z+1})^3=0$.
    \end{itemize}
  \end{multicols}
\item Résoudre 
  \begin{itemize}
  \item $z+\bar z + j(z+1)+2=0$\quad \emph{(solutions :
      $\alpha+j(\alpha+1),\,\alpha\in\R$)}.
  \item $z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0$\quad \emph{(solutions :
      $1-i,-1+i,3-2i,2i-3$)}.
  \item $\abs z=\abs{\frac{1}{z}}=\abs{1-z}$\quad \emph{(solutions :
      $-j,-j^2$)}.
  \end{itemize}
\item Résoudre :
  \begin{itemize}
  \item $z^7+\Cnp72z^5+\Cnp74z^3+\Cnp76z=0$\quad \emph{(indication :
      utiliser $(z+1)^7+(z-1)^7$)}.
  \item $1+2z+2z^2+\dots+2z^{n-1}+z^n=0$
  \item $(3z^2+z+1)^2+(z^2+2z+2)^2=0$\quad \emph{(indication :
      $(\frac{3z^2+z+1}{z^2+2z+2})^2=-1$...)}.
  \end{itemize}
\item On pose $\frac{z+i}{z-i}=w$, résoudre $w^3+w^2+w^1=0$\quad
  \emph{(solutions : $-1,0,1$)}.
\item $\omega^n=1$, avec $n\ge2$. Évaluer :
  \begin{itemize}
  \item $\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$\quad\emph{(indication :
      multiplier par $1-\omega$)}.
  \item $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$, $p\in\Z$
  \item $\sum_{k=0}^{n-1}\Cnp
    nk\omega^k$\quad\emph{($=(1+\omega)^n-\omega^n =
      2^n\cos^n\frac{p\pi}{n}(-1)^p-1$ si $\omega=e^{\frac{2ip\pi}{n}}$)}.
  \item $\sum_{k=0}^{n-1}\abs{\omega^k-1}$ où
    $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$\quad\emph{(indication :
      $=2\sum_{k=0}^{n-1} \abs{\sin\frac{k\pi}{n}}$)}.
  \end{itemize}
\item Soit $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Calculer
  $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n$ et
  $\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=k}^{n-1} \Cnp lk\omega^{k+l}$.
\item Soit $\beta$ une racine septième de l'unité différente de
  $1$. Montrer que $\frac{\beta}{1+\beta^2} +
  \frac{\beta^2}{1+\beta^4} + \frac{\beta^3}{1+\beta^6} = -2$.
  
  \emph{(indication : profiter de $\sum_{i=0}^6 k^i=0$ et $\beta^7=1$)}.
\item Calculer $A=\Cnp n0+\Cnp n3+\dots$, $B=\Cnp n1+\Cnp n4+\dots$,
  $C=\Cnp n2+\Cnp n5+\dots$
  
  \emph{(indication : calculer $A+B+C$, $A+jB+j^2C$ et $A+j^2B+jC$)}.
\item Montrer que $\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}}$.
\item Montrer que $1+2\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos\frac{4\pi}{5}=0$, en
  déduire les valeurs de $\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos\frac{4\pi}{5}$.
\item Montrer que $\forall n\in\N^\ast,\,\forall
  \theta\in\R,\,\sum_{k=0}^{n-1}\cos(\theta+\frac{2k\pi}{n}) =
  \sum_{k=0}^{n-1}\sin(\theta+\frac{2k\pi}{n}) = 0$
  
  \emph{(indication : ce sont les parties réelle et imaginaire de la
    somme des racines de $e^{in\theta}$)}.
\item Calculer $\sum_{k=0}^n \cos(a+kb)$, $\sum_{k=0}^n \sin(a+kb)$,
  $\sum_{k=0}^n \Cnp nk\cos(a+kb)$ et $\sum_{k=0}^n \Cnp
  nk\sin(a+kb)$\quad \emph{(indication : penser à $C+iS$)}.
\item Calculer $\sum_{k=0}^n k^p\sin kx$\quad\emph{(et bien sûr
    $\sum_{k=0}^n k^p\cos kx$)}.
\item Transformer $\cos 3x+\cos 5x$ en polynôme en $\cos x$.
\item Résoudre $\sin 2x-\sin 3x+\sin 4x=0$.
\item Linéariser $2\cos^4x\sin^3x+\cos^3x\sin^2x$.
\item Résoudre $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\cos kx}{\cos^kx}=0$
  \quad\emph{(indication : penser à $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\sin
      kx}{\cos^kx}=0$)}.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Factoriser le polynôme $P=1+\Xd+\dots+\Xd^{n-1}$.
  \item Calculer $\prod_{k=0}^{n-1}(e^{\frac{2ik\pi}{n}}-1)$.
  \item En déduire la valeur de
    $A=\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2}{n}\dots\sin\frac{(n-1)\pi}{n}$.
  \end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ le système : $
  \begin{systeme}
    \cos a+\cos (a+x)+\cos(a+y)=0\\
    \sin a+\sin (a+x)+\sin(a+y)=0
  \end{systeme}$.
\item Montrer que $\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\dots+\cos 2nx =
  \frac{\sin(2n+1)x}{2\sin x}$.
\item $ABCD$ est un carré. On suppose $C$ et $D$ de coordonnées
  entières. Montrer que $A$ et $B$ le sont aussi.
\item Montrer que si $ABC$ est un triangle équilatéral, $A$, $B$ et
  $C$ ne sont pas tous de coordonnées entières.
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :
  \begin{itemize}
  \item $\frac{z-1-i}{z+1}\in\R$\quad \emph{(solutions :
      $y=\frac{x+1}{2}$)}.
  \item $O$ est l'orthocentre de $z,z^2,z^3$\quad \emph{(solutions :
      $0,1,j,j^2$)}.
  \item $z,z^2,z^3$ est un triangle rectangle
    
    \emph{(solutions : $(y'y)\cup(D)\cup(C)$, $(D):x+1=0$, $(C)$
      cercle de centre $(-\frac{1}{2},0)$ de rayon $\frac{1}{2}$)}.
  \item $1,z,\frac{1}{z},1-z$ sont cocycliques\quad \emph{(solutions :
      $(x'x)\cup(C)$, $(C)$ cercle de centre
      $(\frac{1}{2},0)$ de rayon $\frac{\sqrt3}{2}$)}.
  \item $i,z,iz$ est un triangle équilatéral\quad \emph{(solutions :
      $\frac{-1\pm\sqrt3}{2}(1+i)$)}.
  \end{itemize}
\item Démontrer que $A,B,C$ d'affixes respectifs $a,b,c$ forment un
  triangle équilatéral si et seulement si $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$$
\end{enumerate}
\end{document}

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