Khôlle PCSI n^{o} 5 : Polynômes

Algèbre 𝕂[X]

1. Quels sont les polynômes P tels que P X^{2} = (P (X))^{2} ? (chercher P sous la forme cX^{n} + R et montrer que c = 1, R = 0)

2. Quels sont les polynômes dont le carré est pair ? (écrire P = Q + R avec Q pair et R impair, pour prouver que Q = 0 ou R = 0)

3. Soient L une application linéaire de 𝕂[X] dans 𝕂[X] telle que L (P Q) = L (P) Q + P L (Q), et L (X) = 1. Montrer que L est la dérivation des polynômes. (montrer L (1) = 0, L (X^{n}) = nX^{n−1} et utiliser la linéarité de L)

4. Quelle identité obtient-on lorsqu’on cherche le coefficient de X^{k} dans l’égalité (1 + X)^{m} (1 + X)^{n} = (1 + X)^{m+n} ?

Calculer ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k} ^{2} et ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} C_{n}^{k} ^{2}.

(C_{2n}^{n}, et (0 si n est impair et (−1)^{m} C_{2m}^{m} si n = 2m), en utilisant (1 + X)^{n} (1 − X)^{n} = 1 − X^{2} ^{n})

5. Pour A ∈ 𝕂[X] − 𝕂, montrer que l’application f_{A} : 𝕂[X] → 𝕂[X] définie par f_{A} (P) = P ∘ A est injective.

6. Soient α ∈ ℂ et n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que

∑_{k=0}^{n} \frac{k}{n} − α ^{2} C_{n}^{k} X^{k} (1 − X)^{n−k} = (X − α)^{2} + \frac{X (1 − X)}{2}

Arithmétique des polynômes

1. Quel est le reste de la division euclidienne de P ∈ 𝕂[X] par (X − a)^{k} ?

2. Quels sont les polynômes divisibles par leur dérivée ?

(on a nP = (X + b) P′, poser R = P (X − b) pour trouver nR = XR′, soit R = aX^{n} et P = a (X + b)^{n})

3. Montrer que P (a + X) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{D^{k}P (X)}{k!}a^{k}. (le démontrer pour P = X^{n})

4. Soient a, b, c trois réels distincts et P un polynôme réel. Calculer le reste de la division de P par (X − a) (X − b) puis par (X − a) (X − b) (X − c). (chercher R sous forme de combinaison linéaire de (X − a) (X − b), (X − a) (X − c) et (X − b) (X − c))

5. Si P = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ ℂ[X], on note \overline{P} = ∑_{i=0}^{n} \overline{a_{i}}X^{i}. Montrer que si ∀x ∈ ℝ, A (x) ⩾ 0, alors il existe P ∈ ℂ[X] tel que A = P \overline{P}. En déduire qu’il existe alors deux polynômes B et C réels tels que A = B^{2} + C^{2}. (décomposer A = a ∏ (X − a_{i})^{2k_{i}} ∏ (X − α_{i})^{r_{j}} (X − \overline{α_{i}})^{r_{j}})

6. Soit P un polynôme. Montrer que P (X) − X divise P (P (X)) − X. Généraliser.

7. Soient p et q entiers naturels non nuls. Montrer que (X^{p} − 1) (X^{q} − 1) divise (X − 1) (X^{pq} − 1).

8. Trouver tous les polynômes P de degré 5 tels que (X + 2)^{3} divise P + 10 et (X − 2)^{3} divise P − 10.

9. Soit a ∈ ℝ, n ∈ ℕ^{∗}. Quel est le reste de la division euclidienne de (X sin a + cos a)^{n} par X^{2} + 1 ?

Racines des polynômes

1. Factoriser les polynômes suivants :

(a) X^{5} − 1 (= (X − 1) X^{2} − \frac{\sqrt{5} − 1}{2}X + 1 X^{2} + \frac{\sqrt{5} − 1}{2}X + 1 )

(b) X^{6} + 1 (= X^{2} + 1 X^{2} − \sqrt{3}X + 1 X^{2} + \sqrt{3}X + 1 )

(c) X^{6} + 2X^{4} + 2X^{2} + 1 (= X^{2} + 1 X^{2} − X + 1 X^{2} + X + 1 )

(d) X^{6} + 3X^{4} + 5X^{2} + 6 (= X^{2} + 2 X^{2} − \overline{2\sqrt{3} − 1}X + \sqrt{3} X^{2} + \overline{2\sqrt{3} − 1}X + \sqrt{3} )

(e) 1 − X^{2} ^{3} − 8X^{3}

(f) X^{9} + X^{6} + X^{3} + 1

(g) ∑_{k=0}^{2n} (−1)^{k} X^{k}, n ∈ ℕ^{∗}.

2. Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans ℤ, P étant normalisé. Montrer que le quotient et le reste de la division euclidienne de Q par P sont encore à coefficients entiers.

3. Soit P = 6X^{3} + λX + 2, λ ∈ ℤ. Déterminer λ de sorte que P admette au moins une racine rationnelle, et factoriser P dans ces cas. (p/q annule P si et seulement si p|2 et q|6, d’où les valeurs possibles de λ : −4, −2, 2, 8)

4. Soit P = X^{3} − 3pX + 2q. Montrer qu’il admet des racines multiples si et seulement si p^{3} = q^{2}. (le pgcd de P et P′ est 2 (q − pX))

5. X^{2m} + X^{n} + 1 est-il divisible par X^{2} + X + 1 ?

6. Soit n ∈ ℕ^{∗}. Calculer ∏_{k=1}^{n−1} 1 − e^{2ik \frac{π}{n}} et ∏_{k=1}^{n−1} sin \frac{kπ}{n}. (Introduire P = X^{n} − 1 = (X − 1) X^{n−1} + ⋯ + 1 )

7. Montrer que la dérivée d’un polynôme P scindé sur ℝ est encore scindée sur ℝ. Montrer que si P est à racines simples, P′ l’est aussi. Ceci est-il encore valable sur ℂ ? (dans ℂ, X^{3} + 1 est scindé, mais pas 3X^{2})

8. Décomposer X^{4} + aX^{2} + b sur ℝ. (distinguer suivant le signe de a^{2} − 4b)

9. Calculer la somme des carrés des inverses des racines de X^{3} + pX + q, q étant bien entendu non nul.

10. Quel est le polynôme de degré 3 qui a pour racines les sommes de carrés de deux racines de X^{3} + pX + q ?

11. Montrer que quatres points de l’hyperbole xy = 1 sont cocycliques si et seulement si ∏_{i=1}^{4} x_{i} = 1, les x_{i} étant les abscisses des quatre points.

12. Même exercice pour la parabole y = x^{2}, la condition étant alors ∑_{i=1}^{4} x_{i} = 0.

13. x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} sont les racines de X^{4} + X + 1. Calculer ∑_{i=1}^{4} \frac{1}{x_{1} − 1}.

14. Résoudre \{ \begin{matrix}a + b + c = 0 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \end{matrix} .