Khôlle PCSI n^{o} 6 : Fractions rationnelles, suites réelles

Fractions rationnelles

1. Décomposer en éléments simples sur ℝ et ℂ les fractions rationnelles suivantes :

(a) \frac{X^{2} + 2X + 5}{X^{2} − 3X + 2}
(b) \frac{X^{2} + 1}{X^{3} − 6X^{2} + 11X − 6}
(c) \frac{1}{X^{3} − 2X^{2} + X}
(d) \frac{4X^{2} + X + 4}{X^{3} + 3X^{2} − 4}
(e) \frac{4}{(X^{2} − 1)^{2}}

(f) \frac{3X − 1}{X^{2} (X + 1)^{2}}
(g) \frac{3}{X^{3} + 1}
(h) \frac{X^{2} + 1}{(X − 1)^{2} (X^{3} − 8)}
(i) \frac{2X + 3}{X^{3} − 2X^{2} − 2X − 3}
(j) \frac{X^{2} − 1}{X^{6} + 1}

(k) \frac{1}{X^{6} + 1}
(l) \frac{1}{(X^{6} − 1)^{2}}

(m) \frac{X^{2}}{X^{4} − 2X^{2} cos α + 1}, α ∈ ℝ

(n) \frac{1}{X^{n} − 1}, n ∈ ℕ^{∗}

2. Soit P un polynôme scindé à racines simples dans ℝ. Donner la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \frac{1}{P^{2}} .

3. Condition nécessaire et suffisante portant sur (p, q) ∈ ℝ^{2} pour qu’il existe a et b tels que

\frac{X^{2} + pX + q}{(X^{2} − 1)^{2}} = \frac{a}{(X − 1)^{2}} + \frac{b}{(X + 1)^{2}}

4. Soit P = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ ℝ[X], de degré n ⩾ 1, scindé sur ℝ à racines simples non nuls x_{1}, …, x_{n}. Montrer que ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}P′ (x_{i})} = −\frac{1}{a_{0}} (décomposer en éléments simples \frac{1}{P} et prendre la valeur en 0).

5. Soit P ∈ ℂ[X], normalisé, de degré n ⩾ 1, et Q = ∏_{k=0}^{n} (X − k).

(a) Calculer ∑_{i=0}^{n} \frac{P (k)}{∏ _{i≠k} (k − i)} (écrire la décomposition en éléments simples de \frac{P}{Q}, multiplier par X et faire tendre X vers +∞).

(b) En déduire qu’il existe k ∈ \{0, …, n\} tel que |P (k)| ⩾ \frac{n!}{2^{n}} (raisonner par l’absurde et utiliser la première question).

Suites réelles

1. Le produit de deux suites croissantes est-il une suite croissante ?

2. Soit (u_{n}) une suite réelle convergente de limite l. Que peut-on dire de la suite (v_{n}) définie par v_{n} = E (u_{n}) ?

3. Soit (u_{n}) une suite réelle convergeant vers l. On pose v_{n} = \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} u_{k}. Montrer que (v_{n}) tend aussi vers l. On pourra commencer par le cas où l = 0. Qu’en est-il si (u_{n}) tend vers +∞ ?

Et en posant w_{n} = \frac{1}{2^{n}} ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u_{k} ?

4. Soit (u_{n}) une suite bornée vérifiant ∀n ⩾ 1, 2u_{n} ⩽ u_{n+1} + u_{n−1}. Montrer que (u_{n}) converge (étudier v_{n} = u_{n+1} − u_{n}).

5. Soit (u_{n}) une suite réelle telle que les suites extraites (u_{2n})_{n}, (u_{3n})_{n} et (u_{2n+1})_{n} convergent. Montrer que (u_{n}) converge.

6. Soit (u_{n}) une suite réelle non majorée. Montrer qu’on peut construire une suite extraite de (u_{n}) tendant vers +∞, et qu’on peut même la choisir strictement croissante.

7. Montrer que si (u_{n}) converge et (v_{n}) diverge, alors (u_{n} + v_{n}) diverge.

8. Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe N_{0} ∈ ℕ tel que

∀n ⩾ N_{0}, \frac{u_{n+1}}{u_{n}} ⩽ \frac{v_{n+1}}{v_{n}}

Montrer que si (v_{n}) tend vers 0, il en est de même de (u_{n}).

9. Soit k ∈ ℂ. Étudier la convergence de la suite (a_{n}) définie par a_{0} ∈ ℂ et a_{n+1} = ka_{n}^{2}.

10. Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites convergentes, on pose x_{n} = inf (u_{n}, v_{n}) et y_{n} = sup (u_{n}, v_{n}). Montrer que (x_{n}) et (y_{n}) convergent et exprimer leurs limites en fonction de celles de (u_{n}) et (v_{n}).

11. Soit a > 1. Montrer que la suite \frac{a^{n}}{n!} _{n} est décroissante à partir d’un certain rang à préciser. Conséquence ?

12. Montrer que toute suite de ℤ convergente est stationnaire à partir d’un certain rang.

13. On suppose que ∀n ∈ ℕ, a_{n} ∈ [0, 1] et b_{n} ∈ [0, 1], et que lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 1. Que peut-on en déduire à propos des suites (a_{n}) et (b_{n}) ?

14. Soient (a_{n}) et (b_{n}) deux suites réelles vérifiant lim_{n→∞} a_{n}^{2} +a_{n}b_{n} +b_{n}^{2} = 0. Que peut-on dire de ces deux suites ?

15. On pose, pour n ∈ ℕ^{∗}, a_{n} = 1 + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n^{2}} . Montrer que ∀n ⩾ 1, a_{n} ⩽ 2 − \frac{1}{n}. Conclusion ?

16. On définit la suite (x_{n}) par x_{0} = 1 et x_{n+1} = \sqrt{1 + x_{n}}. Montrer que (x_{n}) est croissante, majorée par 2. Quelle est sa limite ?

17. On définit la suite (x_{n}) par x_{0} = 1 et x_{n+1} = x_{n} + \frac{1}{x_{n}}. Montrer que lim_{n→∞} x_{n} = +∞.

18. u_{n} = sin n est-elle convergente ? Et plus généralement v_{n} = sin (nθ), où θ ∈ ℝ ?

19. Soit (a_{n}) et (b_{n}) deux suites d’entiers telles que pour tout n, a_{n} et b_{n} soient premiers entre eux et que u_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} converge vers un réel α non rationnel. Montrer que |b_{n}| tend vers +∞.

20. Étudier les suites suivantes :

(a) u_{n} = ^{n} \overline{2 + (−1)^{n}} (b) u_{n} = \frac{1}{n^{3}} ∑_{k=1}^{n} k^{2} (c) u_{n} = \frac{1}{n^{2}} ∑_{k=1}^{n} E (kx) (d) u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}} (e) u_{n} = \frac{∑ _{k=0}^{n} 2k + 1}{∑ _{k=1}^{n} k} (f) u_{n} = \frac{3^{n} − 2^{n}}{3^{n} + 2^{n}} (g) u_{n} = \frac{n!}{n^{n}} (h) u_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} (i) u_{n} = \frac{E ( n + \frac{1}{2} ^{2})}{E ( n − \frac{1}{2} ^{2})} (j) u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k} (k) u_{n} = ∑_{k=n}^{2n} e^{−\sqrt{k}} (l) u_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}}

(m) u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kn} (monotone)

(n) u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k + n} (monotone)

(o) u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{2k + 2n − 1} (mono-

tone)

21. Étudier les couples de suites suivantes :

{(a) u_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}, v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n.n!} \atop (b) u_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k^{p}} , v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n^{p−1}} , p ⩾ 2}  {(c) u_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k} − ln n, v_{n} = u_{n} − \frac{2}{n} \atop (d) a_{n+1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} , b_{n} = \sqrt{a_{n}b_{n}}, a_{0} > b_{0} > 0.}