\documentclass{exo2000}

\title{Khôlle PCSI \numero7 : Fonctions d'une variable réelle,
  limites, continuité}

\begin{document}
\maketitle
\bigskip

\titre{Vrai-faux}
\begin{enumerate}
\item La somme de deux fonctions monotones est une fonction monotone.
\item La composée de deux fonctions monotones est une fonction
  monotone.
\item Toute fonction qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ est
  croissante au voisinage de $+\infty$.
\item Toute fonction périodique monotone est constante.
\item Toute fonction monotone sur $\R$ admet une limite finie à gauche
  et à droite en tout point.
\item Toute fonction admettant en un point une limite à gauche et une
  limite à droite égales est continue en ce point.
\item S'il existe une suite $(u_n)$ convergeant vers $a$ telle que
  $f(u_n)$ tend vers $f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.
\item Toute fonction continue sur un intervalle borné est bornée.
\end{enumerate}

\titre{Limites}
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites suivantes :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$
    \item $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-[3]\sqrt{1-x}}{x}$
    \item $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x^3}{x-1}}-x$
    \item $\lim_{x\to0} \abs{\ln x}^x$
    \item $\lim_{x\to0} x^x$
    \item $\lim_{x\to0} (\sin x)^{\frac{1}{\ln x}}$
    \item $\lim_{x\to0}
      \frac{\left[\frac{1}{x}\right]+x}{\left[\frac{1}{x}\right]-x}$
    \item $\lim_{x\to0} x\left[\frac{1}{x}\right]$
    \item $\lim_{x\to+\infty} x\left[\frac{1}{x}\right]$
    \item $\lim_{x\to0^+} \sqrt x\left[\frac{1}{x}\right]$
    \item $\lim_{x\to+\infty} \frac{\left[x\right]}{x}$
    \item $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}-\sqrt
      x$
    \item $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2+x+1}-(x+1)$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item La fonction $x\mapsto
  \frac{x^x}{\left[x\right]^{\left[x\right]}}$ admet-t-elle une limite
  finie en $+\infty$ ?
\item Soit $f:\R\to\R$ définie par
  $f(x)=\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty} \cos^{2m}(n!\pi x))$.
  Montrer que $f=\chi_\Q$.
\item Montrer qu'une fonction périodique admettant une limite finie en
  $+\infty$ est constante. Que pouvez-vous en déduire quant-à
  l'existence d'une limite pour $\sin$ en $+\infty$ ?
\item Montrer que la fonction $f:x\mapsto\sin\frac{1}{x}$ n'admet pas
  de limite, finie ou non, en $0$.
\end{enumerate}
\newpage
\titre{Continuité}
\begin{enumerate}
\item Étudier la continuité des fonctions suivantes :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $f:x\mapsto x-\left[x\right]-(x-\left[x\right])^2$
    \item $f:x\mapsto (-1)^{\left[x\right]}(x-\left[x\right]-\frac{1}{2})$
    \item $f:x\mapsto \begin{cases} x\sin\frac{1}{x}&\text{si }x\ne0\\
        0&\text{sinon}\end{cases}$
    \item $f:x\mapsto x+\sqrt{x-\left[x\right]}$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Soient $f$ et $g$ deux applications de $[a,b]$ dans $\R$,
  continues en $x_0\in[a,b]$. Montrer que $\sup(f,g)$ et $\inf(f,g)$
  sont aussi continues en $x_0$.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application $f:\R\to\R$ définie par
    $$f(x)=\begin{cases} \sin(2\pi\frac{p}{q})&\text{si
      }x=\frac{p}{q}+n\sqrt2,\,(p,q,n)\in\Z\times\Z^\ast\times\Z \\
      0&\text{sinon}\end{cases}$$
    admet $1$ et $\sqrt2$ pour périodes.
  \item Que pouvez-vous dire des fonctions continues sur $\R$
    admettant $1$ et $\sqrt2$ pour périodes ?
  \end{enumerate}
\item Soit $D=\left\{x\in\R,\,\exists\,(\alpha,n)\in\Z\times\N,\,
    x=\frac{\alpha}{2^n}\right\}$. Montrer que, si $f:\R\to\R$,
  continue sur $\R$, est nulle sur $D$, alors $f=0$.
\item Donner une exemple de fonction $f:\R\to\R$ discontinue en tout
  point de $\R$, et telle que $\abs{f}$ soit continue sur $\R$.
\item Soit $f:\R^+\to\R^+$, telle que $\forall(x_1,x_2)\in(\R^+)^2,\,
  f(x_1+x_2)\le f(x_1)+f(x_2)$. On suppose de plus $f$ continue en
  $0$. Montrer que $f$ est bornée sur tout intervalle $[0,X]$, pour
  $X\in\R^+$.
\item Soit $f:\R\to\R$ continue en $0$ telle que $\forall
  x\in\R,\,f(2x)=f(x)$. Montrer que $f$ est constante.
\item Soit $f:[a,b]\to\R$ continue, et $p$ et $q$ deux réels positifs.
  Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c)$.
\item Soit $f:\R^+\to\R$ admettant une limite finie en
  $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée et atteint au moins une de ses
  bornes, de deux manières différentes :
  \begin{itemize}
  \item directement par application des définitions ;
  \item en étudiant $F=f\circ \phi$, où $\phi:[0,1[\to\R^+$ est
    définie par $\phi(x)=\frac{x}{1-x}$.
  \end{itemize}
\item Un randonneur parcourt 20 kilomètres en 5 heures. Montrer qu'il
  existe un intervalle de temps d'une heure pendant lequel notre
  marcheur a parcouru exactement 4 kilomètres.
\item Soit $f:I\to\R$ une fonction continue et injective sur un
  intervalle $I$ de $\R$. Montrer que $f$ est strictement monotone.
\item Soit $a>0$ et $f:\R\to\R$ continue telle que
  $\forall(x,y)\in\R^2,\, \abs{f(x)-f(y)}\ge a\abs{x-y}$. Montrer que
  $f$ est bijective.
\item Soit $f:[0,1]\to\R$ continue, et $\phi:[0,1]\to\R$ définie pour
  tout $x\in[0,1]$ par $\phi(x)=\sup_{t\in[0,x]} f(t)$. Montrer que
  $\phi$ est croissante et continue sur $[0,1]$.
\item Soit $f:\R^+\to\R$ continue telle que $\lim_{x\to+\infty}
  (f(x+1)-f(x))=l\in\R$. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}
  \frac{f(x)}{x}=l$.
\item Résoudre les équations fonctionnelles suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item $f:\R\to\R$ continue en $0$ telle que $\forall
    x\in\R,\,f(2x)=f(x)\cos x$.
  \item $f:\R\to\R$ continue telle que $\forall
    x\in\R,\,f(2x+1)=f(x)$.
  \item $f:\R\to\R$ continue telle que
    $\forall(x,y)\in\R^2,\,f(x+y)=f(x)+f(y)$.
  \item $f:\R^{\ast+}\to\R$ continue telle que
    $\forall(x,y)\in\R^2,\,f(xy)=f(x)+f(y)$.
  \item $f:\R\to\R$ continue telle que
    $\forall(x,y)\in\R^2,\,f(x+y)=f(x)f(y)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\titre{Continuité sur un intervalle}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $x^2\cos x+x\sin x+1=0$ admet au moins
  une solution réelle.
\item Soit $I$ un intervalle de $\R$, $f,g:I\to\R$ deux applications
  continues telles que $\abs f=\abs g$ et $\forall x\in I,\,f(x)\ne
  0$. Montrer que $f=g$ ou $f=-g$.
\item Soit $f:[0,+\infty[\to\R$, continue, à valeurs positives ou nulles,
  telle que $\lim_{t\to+\infty}\frac{f(t)}{t}=l<1$. Montrer qu'il
  existe $x_0\in\R^+$ tel que $f(x_0)=x_0$.
\item Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $f(0)=f(1)$. Montrer que
  pour tout $n\in\N^\ast$, il existe $\alpha_n\in[0,1]$ tel que
  $f(\alpha_n+\frac{1}{n})=f(\alpha_n)$.
\item Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ continue telle que $f(0)=0$ et
  $f(1)=1$. Montrer que pour tout $n\in\N^\ast$, il existe
  $(x_{n,k})_{0\le k\le n}$ telle que $0\le
  x_{n,0}<x_{n,1}<\dots<x_{n,n}\le 1$ et $f(x_{n,k})=\frac{k}{n}$.
\item Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ continue.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\forall n\in\N^\ast$, il existe $a_n\in[0,1]$ tel
    que $f(a_n)=a_n^n$.
  \item On suppose $f$ strictement décroissante ; montrer que, pour
    chaque $n\in\N^\ast$, $a_n$ est unique, et étudier la suite
    $(a_n)_n$.
  \end{enumerate}
\item Soit $I$ un intervalle de $\R$, et $f:I\to\R$ une application
  continue. Montrer que si $f(I)$ est fini, la fonction $f$ est
  constante.
\item Soit $f:\R\to\R$ continue et périodique. Montrer que $f$ est
  bornée.
\item Soit $f:\R^+\to\R^+$ continue telle que $\forall
  x\in\R^{\ast+},\,f(x)<x$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f(0)=0$.
  \item Montrer que, pour tout $0<a<b$, il existe $M\in[0,1[$ tel que
    $\forall x\in[a,b],\, f(x)\le Mx$.
  \end{enumerate}
\item Soit $a<b$, et $f:[a,b]\to\R$ continue, non constante, telle que
  $f(a)=f(b)$. On note $m=\inf_{x\in[a,b]}f(x)$ et
  $M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)$.

  Montrer que, pour tout $k\in]m,M[$, il existe au moins deux éléments
  de $[a,b]$ distincts d'image $k$ par $f$.
\end{enumerate}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
