Khôlle PCSI n^{o} 8 : dérivation, relations de comparaison

Dérivation

1. Etudier les variations des fonctions suivantes :

• f : x ↦ e^{x} − x^{2} − x • g : x ↦ (x ln x)^{2} − x (ln x + 1) + 1

2. Soit m ∈ ℝ. Combien l’équation x^{3} − 9x − m x^{2} − 1 = 0 admet-elle de solutions réelles ? (étudier

x ↦ \frac{x^{3} − 9x}{x^{2} − 1}).

3. Combien l’équation (x − 1) e^{x} − (x + 1) e^{−x} = 0 admet-elle de solutions sur ℝ ?

4. Trouver le plus grand réel α et le plus petit réel β tels que

∀n ∈ ℕ^{∗}, 1 + \frac{1}{n} ^{n+α} < e < 1 + \frac{1}{n} ^{n+β}

5. Soit f : ℝ → ℝ dérivable. Montrer que |f| admet en tout point une dérivée à gauche et une dérivée à droite. En quels points cette fonction est-elle dérivable ?

6. Soit x_{0} ∈ ℝ, et f définie au voisinage de x_{0}, à valeurs réelles et dérivable en x_{0}. Montrer que :

∀ (a, b) ∈ ℝ^{∗+} ^{2} , \frac{f (x_{0} + bh) − f (x_{0} − ah)}{(a + b) h} ⟶_{h→0} f′ (x_{0})

7. Soit x_{0} ∈ ℝ, et f définie au voisinage de x_{0}, à valeurs réelles. Montrer que si f′_{d} (x_{0}) et f′_{g} (x_{0}) existent, alors

\frac{f (x_{0} + h) − f (x_{0} − h)}{2h} ⟶_{h→0} \frac{1}{2} f′_{d} (x_{0}) + f′_{g} (x_{0}) . Réciproque ? (considérer x ↦ x sin \frac{1}{x}).

8. L’application f : x ↦ cos \sqrt{x} est-elle dérivable à droite en 0 ?

9. Continuité, dérivabilité et continuité de la dérivée des fonctions suivantes :

• f : x ↦ x |x|  • g : x ↦ x sin \frac{1}{x} si x ≠ 0, 0 sinon  • h : x ↦ x^{2} sin \frac{1}{x} si x ≠ 0, 0 sinon

10. • I est un intervalle de ℝ symétrique par rapport à 0, et f : I → ℝ est une application dérivable. Montrer

que si f est paire (resp. impaire), alors f′ est impaire (resp. paire).

• Soit f : ℝ → ℝ dérivable périodique. Montrer que f′ est encore périodique. La réciproque est-elle vraie ?

11. Dérivées successives des fonctions suivantes :

• f_{1} : x ↦ x^{3} + 2x − 7 e^{x}  • f_{2} : x ↦ x^{2} (1 + x)^{n}  • f_{3} : x ↦ cos^{3} x sin^{2} x  • f_{4} : x ↦ e^{x} cos x

12. Calculer la dérivée d’ordre n de f : x ↦ x^{n} (1 − x)^{n}. En déduire la valeur de ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k} ^{2}.

13. Soit f une fonction n fois dérivable sur un intervalle I ne contenant pas 0, et g (x) = f \frac{1}{x} . Etablir :

g^{(n)} (x) = (−1)^{n} ∑_{p=0}^{n−1} \frac{(n − 1) (n − 2) … (n − p)}{x^{2n−p}} C_{n}^{p} f^{(n−p)} \frac{1}{x}

14. Soit f : ℝ → ℝ définie par f (x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} si x ≠ 0, 0 sinon. Montrer que f est de classe C^{∞} sur ℝ, et que ∀k ∈ ℕ, f^{(k)} (0) = 0.

15. Soit α ∈ ℝ, et f_{α} : ℝ^{∗+} → ℝ définie par f_{α} (x) = x^{α} ln x. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^{∗}, il existe un couple (a_{n}, b_{n}) ∈ ℝ^{2} tel que f_{α}^{(n)} (x) = x^{α−n} (a_{n} ln x + b_{n}). Calculer a_{n} et b_{n} en fonction de n et α.

16. Soit f : [a, b] → ℝ dérivable. En étudiant φ : [a, b] → ℝ définie par φ (x) = \frac{f (x) − f (a)}{x − a} si x ≠ a, et φ (a) = f′ (a), montrer que f vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.

17. Soit f : ℝ → ℝ de classe C^{1}, et g : ℝ → ℝ définie par g (x) = (f (x))^{2} si f (x) ⩾ 0, 0 sinon. Montrer que g est aussi de classe C^{1}.

18. Déterminer a ∈ ℝ et x_{0} > 0 telq que f :]0, +∞[→ ℝ définie par f (x) = a\sqrt{x} si x ∈]0, x_{0}[, x^{2} + 12 sinon, soit de classe C^{1} sur ]0, +∞[.

19. Soit f : ℝ → ℝ dérivable et g : ℝ → ℝ définie par g (x) = 2f (x) − xf′ (x). Montrer que si g est paire, alors f l’est aussi (introduire f : x ↦ f (x) − f (−x)).

20. Soit f : ℝ → ℝ dérivable et a ∈ ℝ tel que f′ (a) ≠ 0. Montrer qu’il existe un voisinage de a sur lequel le fonction f est injective.

Rolle, AF

1. Soit f : ℝ → ℝ dérivable, telle que f′ (x) ⟶_{x→+∞} l. Montrer que \frac{f (x)}{x} ⟶_{x→+∞} l.

2. Soit P ∈ ℝ[X] de degré supérieur ou égal à 2.

(a) Montrer que si les zéros de P sont réels et tous simples, alors il en est de même de P′.

(b) Montrer que si P est scindé sur ℝ, il en est de même de P′.

3. Soit f : I → ℝ une application dérivable sur l’intervalle I, à dérivée bornée. Montrer que f est lipschitzienne.

4. Soit f : [0, a] → ℝ de classe C^{1} telle que f (0) = f′ (0) = 0 et f (a) f′ (a) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f′ (c) = 0.

5. Trouver lim_{x→π/4} \frac{ln (cos x) − ln (sin x)}{cos x − sin x}.

6. Soit f : [a, b] → ℝ dérivable telle que f′ (a) = f′ (b). Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f′ (c) = \frac{f (c) − f (a)}{c − a}.

7. Soit f : ℝ^{+} → ℝ de classe C^{1} telle que f (0) = f′ (0) = 0, et a > 0 tel que f (a) = 0. Montrer qu’il existe un point M du graphe de f en lequel la tangente passe par O.

8. Soit a ∈ ℝ et f : [a, +∞[→ ℝ continue et dérivable sur [a, +∞[ telle que f (a) = lim_{+∞} f = 0. Montrer qu’il existe c ∈ [a, +∞[ tel que f′ (c) = 0.

9. Soient f, g : [a, b] → ℝ continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[. On suppose que g′ ne s’annule pas sur ]a, b[.

(a) Montrer que g (b) − g (a) ≠ 0, puis qu’il existe c ∈]a, b[ tel que \frac{f (a) − f (b)}{g (a) − g (b)} = \frac{f′ (c)}{g′ (c)} (appliquer le théorème de Rolle à f − λg pour λ bien choisi).

(b) En déduire que si \frac{f′ (x)}{g′ (x)} ⟶_{x→a^{+}} l, alors \frac{f (x) − f (a)}{g (x) − g (a)} ⟶_{x→a^{+}} l (règle de l’Hospital).

(c) Application : calculer lim_{x→0^{+}} \frac{cos x − e^{x}}{(x + 1) e^{x} − 1}.

(d) Avec les mêmes hypothèses, on suppose de plus ∀x ∈]a, b[, |f′ (x)| ⩽ g′ (x). Montrer que |f (b) − f (a)| ⩽

g (b) − g (a).

10. Soit f : ℝ^{∗+} → ℝ dérivable telle que lim_{x→+∞} xf′ (x) = 1. Montrer que lim_{+∞} f = +∞ (montrer que f est localement strictement croissante, et utiliser le TAF pour prouver qu’elle ne peut être majorée).

11. Soient (a, h) ∈ ℝ^{+} × ℝ^{∗+}. Pour les trois fonctions f : [a, +∞[→ ℝ

x ↦ \sqrt{x} x ↦ x^{n}, n ∈ ℕ^{∗} x ↦ \frac{1}{x} (a > 0)

montrer qu’il existe un unique θ ∈]0, 1[ tel que f (a + h) − f (a) = hf′ (a + θh). Trouver lim_{h→0} θ.

Relations de comparaison

1. Montrer les relations suivantes :

• ∑_{k=0}^{n} k! ∼_{n→∞} n! • ∑_{k=0}^{n} e^{k^{2}} ∼_{n→∞} e^{n^{2}} • ∑_{k=n}^{2n} \frac{1}{k^{k}} ∼_{n→∞} \frac{1}{n^{n}}

2. On note f_{0} (x) = x et ∀k ∈ ℕ, f_{k+1} (x) = x^{f_{k}(x)}. Trouver un équivalent simple en 0^{+} de f_{k}.

3. Soit α ∈]0, 1[. Montrer que ∀n ∈ ℕ, \frac{α}{(n + 1)^{1−α}} ⩽ (n + 1)^{α} − n^{α} ⩽ \frac{α}{n^{α}}. En déduire que ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{α}} ∼_{n→∞} \frac{n^{α}}{α}.

4. Montrer que ln (1 + x) ∼_{x→0} x et e^{x} − 1 ∼_{x→0} x. En déduire les limites suivantes :

lim_{x→0^{+}} \frac{(sin x)^{x} − 1}{x^{x} − 1}  lim_{x→0^{+}} \frac{(sin x)^{sin x} − 1}{(tan x)^{tan x} − 1}  lim_{x→+∞} ln 1 + e^{−x} ^{\frac{1}{x}}