\documentclass[multicols]{exo2000}

\title{Khôlle PCSI \numero9 : intégration sur un segment}

\begin{document}
\maketitle
\bigskip

%% \titre{Vrai-faux}
%% \begin{enumerate}
%% \item 
%% \end{enumerate}

\titre{Théorie de l'intégration}
\begin{enumerate}
\item Soit $f:[a,b]\to\R$ continue, telle qu'il existe $x_1\in[a,b]$
  tel que $f(x_1)>0$. Montrer qu'il existe $x_2\in[a,b]$ tel que
  $f(x_2)<0$.
\item Soit $f:[a,b]\to\R$ continue à valeurs positives ou
  nulles. Montrer que $\lim_{n\to\infty} (\int_a^b (f(t))^n\dd
  t)^{\frac{1}{n}} = \sup_{x\in[a,b]} \abs{f(x)}$.
  
  Prouver un résultat similaire pour la limite lorsque $n$ tend vers
  $-\infty$.
\item Soit $f:[0,1]\to\R$ continue, telle que $\int_0^1
  f=\frac{1}{2}$. Montrer qu'il existe $x_0\in[0,1]$ tel que
  $f(x_0)=x_0$.
\item Soit $E=\left\{f:[0,1]\to\R\ \Cn1\tq
    f(0)=a,\,f(1)=b\right\}$. Déterminer $\inf_{f\in E} \int_0^1
  {f'}^2$, et les $f\in E$ réalisant cet borne inférieure.

  \emph{Indication : C.S. : $(\int 1.f')^2\le (\int 1^2)(\int {f'}^2)$}
\item Soit $n\in\N$, et $f:[a,b]\to\R$ continue. On suppose que
  $\forall k\in\entint{0,n},\,\int_a^b t^kf(t)\dd t =0$. Montrer que
  $f$ s'annule au moins $n+1$ fois dans l'intervalle $]a,b[$.

  \emph{Indication : si $f$ admet au plus $n$ zéros $u_1<\dots<u_n$,
    appliquer l'hypothèse à $P=\prod_i(X-u_i)$.}
\item Soit $f:[a,b]\to\R$ de classe $\Cn2$. Montrer que $\int_a^b f =
  \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)) + \frac{1}{2}\int_a^b (x-a)(x-b)f''(x)\dd
  x$.
  
  En déduire que dans la formule des trapèzes, $\abs{I-I_n}\le
  \frac{(b-a)^3}{12n^2} M_2$, où $M_2=\sup_{[a,b]}\abs{f''}$.
\item Soient $f,g:[a,b]\to\R$ continues, telles que $\forall
  (a,b)\in\R^2,\,(\int_a^b f)(\int_a^b g)=0$. Montrer que $f=0$ ou
  $g=0$.

  \emph{Indication : Si $F(a)\ne F(b)$, alors pour $x$ tel que
  $F(x)=F(a)$, $F(x)\ne F(b)$, appliquer à $G(x)$.}
\item Soit $f:\R\to\R$ continue, et $F:\R\to\R$ définie par
  $F(x)=\frac{1}{2x}\int_{-x}^x f(t)\dd t$ si $x\ne 0$, et
  $F(0)=f(0)$. Montrer que $F$ est continue sur $\R$, dérivable sur
  $\R^\ast$, et calculer sa dérivée.
  
  Montrer que si $f$ est dérivable en $0$, alors $F$ est de classe
  $\Cn1$ sur $\R$, et que $F'(0)=f'(0)$.
\item Soit $f:[0,+\infty[\to\R$, continue. On suppose
  $\lim_{x\to+\infty} f(x) = l$. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}
  \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\dd t = l$.
\item Soit $f:[0,1]\to\R$ continue, telle que pour toute fonction
  $g:[0,1]\to\R$ continue vérifiant $g(0)=g(1)=0$, on ait $\int_0^1
  f(t)g(t)\dd t = 0$. Montrer que $f=0$.
\item Soit $a\in]0,1]$. Trouver les applications $f:[0,1]\to\R$
  continues telles que $\forall x\in[0,1],\,f(x)=\int_0^{ax} f(t)\dd
  t$.
\item Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. Chercher $\lim_{n\to\infty}
  \frac{1}{n^2} \sum_{1\le i<j\le n} f(\frac{i}{n})f(\frac{j}{n})$.
\end{enumerate}
\newpage
\titre{Pratique du calcul intégral}
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites suivantes :
  \begin{itemize}
  \item $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n\alpha+k\beta}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{n}{n^2+k^2}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{8k^3+n^3}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^p}{n^{p+1}}$
  \item $\lim_{n\to\infty} (\frac{(2n)!}{n!n^n})^{\frac{1}{n}}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \prod_{k=1}^{n} (1+\frac{k^2}{n^2})^{\frac{1}{n}}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n}^{2n} \frac{k+1}{kn+n^2}$
  \item $\lim_{n\to\infty} \prod_{k=n+1}^{2n} k^{\frac{1}{k}}$
  \end{itemize}
\item Calculer $\int_0^\pi \ln(1-2x\cos\theta+x^2)\dd\theta$ à l'aide
  des sommes de Riemann.
\item Calculer sans recours aux primitives les intégrales $\int_a^b
  x^2\dd x$ et $\int_a^b e^x\dd x$.
\item Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $\infty$ de
  $\sum_{k=1}^n \sqrt k$.
\item Soit $I=\int_0^\pi \frac{t\sin t}{1+\cos^2t}\dd t$. Effectuer le
  changement de variable $u=\pi-t$, et en déduire la valeur de $I$.
\item On note $I_n=\int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\dd x$,
  $J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos nx}{2-\cos x}\dd x$ et
  $K_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos nx}{2+\cos x}\dd x$.

  Montrer que $\forall n\in\N,\, I_n=J_n+(-1)^nK_n$, et
  $I_{n+1}=4I_n-I_{n-1}$. En déduire $I_n$ en fonction de $n$.
\item Soit $I_n=\int_0^1 x^n\tan x\dd x$. Calculer $\lim_{n\to\infty}
  I_n$, puis $\lim_{n\to\infty} nI_n$.
\item A l'aide d'intégrations par parties, calculer successivement
  $K$, puis $I+J$ et $I-J$ et enfin $I$ et $J$, avec :
  $$K=\int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{2-t}\cos 2t\dd t,\qquad
  I=\int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{2-t}\cos^2t\dd t,\qquad
  J=\int_0^{\frac{\pi}{8}} e^{2-t}\sin^2t\dd t$$
\item Montrer que $\forall x\ge0,\,x-\frac{x^3}{6}\le \sin x\le x$. En
  déduire $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n
  \sin\frac{k}{n}\sin\frac{k}{n^2}$.
\item Etudier les fonctions
  $$f:x\mapsto \int_x^{x^2}\frac{\dd t}{1+\ln t}\qquad\qquad
  g:x\mapsto \int_x^{4x}\frac{\ln t}{2t-1}\dd t$$
\item Calculer les limites suivantes :
  \begin{itemize}
  \item $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}\int_0^1 (\Arcsin x)^n\dd x$
  \item $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n\ln(1+x)\dd x$
  \item $\lim_{a\to 0} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(a\sin x)\dd x$
  \item $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+x}\dd x$
  \item $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\dd x$
  \item $\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi \frac{\sin x}{x+n}\dd x$, puis
    $\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi \frac{n\sin x}{x+n}\dd x$
  \item $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(ax^n)\dd x$, où $a\in[0,1]$ et
    $f:[0,1]\to\R$ continue.
  \item $\lim_{a\to0} \int_0^\pi e^{-a\sin x}\dd x$, puis
    $\lim_{a\to+\infty} \int_0^\pi e^{-a\sin x}\dd x$
  \item $\lim_{u\to0} \int_u^{3u} \frac{\cos x}{x}\dd x$
  \item $\lim_{u\to0} \int_u^{2u} \frac{\sin x}{x^2}\dd x$
  \item $\lim_{u\to+\infty} e^{-u^2}\int_0^u e^{t^2}\dd t$
  \end{itemize}
\item \textbf{Irrationalité de $\pi$}

  Pour $n\in\N^\ast$, et $(a,b)\in(\N^\ast)^2$, on pose
  $P_n=\frac{1}{n!}\Xd^n(b\Xd-a)^n$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $P$ et ses dérivées ne prennent que des valeurs
    entières en $0$ et $\frac{a}{b}$.
  \item Montrer que $I_n=\int_0^\pi P_n(x)\sin x\dd x$ tend vers $0$
    lorsque $n$ tend vers $\infty$.
  \item On suppose que $\pi=\frac{a}{b}$. Montrer que $I_n\in\Z$.
  \item Conclure.
  \end{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\int_0^1
  \ln(1+x^2)\dd x$.
\item A l'aide d'une récurrence, calculer $I_{p,q}=\int_a^b
  (x-a)^p(b-x)^q\dd x$, où $p$ et $q$ sont deux entiers naturels.
\item Etudier $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=\int_0^1 \abs{x-t}\dd t$.
\item Montrer que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à $3$,
  $\int_a^b P=\frac{b-a}{6}(P(a)+4P(\frac{a+b}{2})+P(b))$. En déduire
  sans effort $\int_0^1 (x-1)^2(x+1)\dd x$.
\item Montrer que $\forall n\in\N,\,\sum_{k=0}^n \frac{\Cnp nk}{k+1} =
  \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.


  
\end{enumerate}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
