Khôlle PCSI n^{o} 11 : Taylor, DL, primitives

Développements limités

1. Calculer les développements limités suivants :

(a) e^{x}\sqrt{1 + x}, 3, 0

(b) e^{−x} \frac{1 + x}{x}, 3, 1

(c) sh x (sin x − x) , 7, 0

(d) \frac{e^{x}}{\sqrt{x}}, 3, 1

(e) (1 − cos x) (1 − ch x) , 9, 1

(f) Arc sin x, n, 0

(g) tan x, 6, 0 (division, puis tan′ = 1 + tan^{2}

2. Calculer les développements limités suivants (composition) :

(a) \sqrt{1 + sin x}, 3, 0

(b) sin (ln (1 + x)) , 4, 0

(c) ln (cos x) , 6, 0

(d) \overline{1 + \sqrt{1 + x}}, 3, 0 (e) e^{\sqrt{ln(α+x)}}, 2, 0 (α > 1)

3. Calculer les développements limités suivants (quotient) :

(a) tan x, 6, 0

(b) \frac{2 + sin x}{3 + cos x}, 3, 0

(c) \frac{ln (1 + tan x)}{1 + sin x}, 4, 0

(d) \frac{sin x}{ln (1 + x)}, 3, 0

(e) \frac{2 tan x − tan 2x}{(1 − cos 3x) ln (1 + x)}, 2, 0 (α > 1)

4. Trouver le développement limité à l’ordre 2 en 0 de x ↦ \frac{1}{x^{2}} − \frac{1}{sin^{2} x}.

5. Trouver le développement limité à l’ordre n en 0 de x ↦ (1 + x)^{−k}, où k ∈ ℕ^{∗}.

6. Soit f : x ↦ 1 + x + x^{2} + x^{3} sin \frac{1}{x}.

Prolonger f par continuité en 0. Montrer que le prolongement ainsi obtenu est de classe C^{1} sur ℝ. Montrer que f admet un développement limité à l’ordre 2 en 0, mais n’est pas deux fois dérivables en 0.

7. Etudier les fonctions suivantes au voisinage de l’infini :

f : x ↦ x Arc tan (x − 1) g : x ↦ e^{1/x} \overline{x (x + 2)} h : x ↦ \frac{2 (x − 1)^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}}

8. Trouver les limites suivantes :

lim_{x→0} ( \frac{x}{sin x}) ^{\frac{x}{x−sin x}} lim_{x→+∞} ( \frac{a^{1/x} + b^{1/x} + c^{1/x}}{3} ) ^{x} (a, b, c > 0) lim_{x→+∞} \frac{Arc tan (x + 1)}{Arc tan x} ^{x^{2}}

9. Trouver des équivalents en 0 des fonctions suivantes :

f : x ↦ sin (ln (1 + x)) − ln (1 + sin x) g : x ↦ sin (sh x) − sh (sin x) h : x ↦ (1 + e^{x})^{x} − 1 + e^{−x} ^{x} 10. Trouver a et b de sorte que sin x − \frac{x + ax^{3}}{1 + bx^{2}} soit, en 0, un infiniment petit d’ordre maximum.

11. Soit P = X + aX^{3} + bX^{5} + cX^{7}, et Q = X + αX^{3} + βX^{5} + γX^{7}. Trouver la partie principale du DL_{7} (0) de P ∘ Q − Q ∘ P. En déduire le développement limité à l’ordre 7 de Arc sin (Arc tan x) − Arc tan (Arc sin x).

12. Etudier les fonctions suivantes : (a) f : x ↦ x^{\frac{1}{1+ln x}}, étude au voisinage de 1

(b) g : x ↦ \frac{x − 1}{x ln x}

(c) h : x ↦ (1 + sin x)^{cos x}, étude au voisinage de 0

(d) i : x ↦ \frac{1}{x} − \frac{1}{Arc sin x}, étude au voisinage de 0

(e) j : x ↦ \frac{x^{2} − x + 2}{x + 3}e^{− \frac{1}{x}}, “tude au voisinage de +∞.

Taylor

1. Soit f : ℝ → ℝ de classe C^{∞} telle que ∀n ∈ ℕ, f^{(n)} (0) = 0 et ∃ λ > 0, ∀n ∈ ℕ, sup_{ℝ} |f^{(n)}| ⩽ λ^{n}n!.

Montrer que f est nulle sur l’intervalle −\frac{1}{λ}, \frac{1}{λ} , puis sur ℝ.

2. Soit f : ℝ → ℝ de classe C^{∞} telle que pour tous n ∈ ℕ et tous x ∈ ℝ, f^{(n)} (x) > 0 (fonction absolument monotone).

Montrer que ∀n ∈ ℕ, lim_{x→+∞} \frac{f (x)}{x^{n}} = +∞.

3. Soit f : ℝ^{+} → ℝ^{+} de classe C^{∞} telle que f (0) = 1, et ∀x ⩾ \frac{1}{2}, f (x) = 0.

(a) Montrer que ∀n ∈ ℕ,_{,} sup_{ℝ^{+}} |f^{(n)}| ⩾ 2^{n}n!.

(b) Montrer que ∀n ⩾ 1,_{,} sup_{ℝ^{+}} |f^{(n)}| > 2^{n}n! (étudier la fonction g : x ↦ f (x) − (1 − 2x)^{n}).

4. Soit f : [a, b] → ℝ de classe C^{2}. On note M_{2} = sup_{[a,b]} |f′′|.

(a) Montrer que ∀x ∈]a, b[, |f′ (x) − \frac{f (b) − f (a)}{b − a}| < M \frac{b − a}{2} (écrire la formule de Taylor pour f (a) et f (b)).

(b) Si |f′ (a) − \frac{f (b) − f (a)}{b − a}| = M \frac{b − a}{2}, montrer que f est polynômiale de degré au plus 2 (étudier f (x) −

f (a) − (x − a) f′ (a) ± M \frac{(x − a)^{2}}{2} ).

5. Soit f : ℝ → ℝ de classe C^{n+1}. Pour a fixé, on écrit la formule de Tayolr-Lagrange :

f (a + h) = f (a) + ⋯ + \frac{h^{n−1}}{(n − 1)!}f^{(n−1)} (a) + \frac{h^{n}}{n!} f^{(n)} (a + hθ_{h})

Montrer que si f^{(n+1)} (a) ≠ 0, alors pour h suffisamment petit, θ_{h} est unique, et que θ_{h} ⟶_{h→0} \frac{1}{n + 1} (appliquer la formule de Taylor à l’ordre 1 à f^{(n)} et à l’ordre n + 1 pour f, et comparer tout cela).

6. Soit f une fonction continue sur I contenant a. Montrer que pour tout p ∈ ℕ, il existe une unique fonction

F ∈ C^{p} telle que ∀k ∈ [ ; [0, p − 1] ; ] , F^{(k)} (a) = 0, et F^{(p)} = f.

Donner une expression intégrale de F, et trouver toutes les fonctions G telles que G^{(p)} = f.

7. Retrouver la formule du développement limité de l’exponentielle en 0 à l’aide du théorème de Taylor avec reste intégral.

8. Trouver un encadrement de sin par deux polynômes de degré 5 sur [0, +∞[. En déduire des encadrements de sin \frac{1}{2} et sin \frac{3}{2}.

9. Ecrire l’inégalité de Taylor-Lagrange pour f : c ↦ ln (1 + x) en 0. Qu’en déduit-on pour ln 2 ?

Primitives

1. Calculer les primitives des fonctions suivantes :

(a) f : x ↦ \frac{1}{x^{3} − 1} (b) g : x ↦ \frac{1}{x^{3} + 1} (c) h_{1} : x ↦ \frac{1}{x^{4} + 1}, puis h_{2} : x ↦ \frac{1}{(x^{4} + 1)^{2}} .

(d) i : x ↦ \frac{tan x}{1 + tan x}

(e) j : x ↦ x^{k} ln x, k ∈ ℕ

(f) k : x ↦ e^{Arc sin x}
(g) l : x ↦ x^{2} + x + 1 e^{2x} cos x
(h) m : x ↦ ln 1 + x^{2}

2. Calculer les intégrales définies suivantes :

(a) ∫0^{\frac{π}{4}} = \frac{3π}{16}

(b) ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} sin^{2} t cos^{3} t dt = \frac{4}{15}

(c) ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{dt}{1 + sin t}

(d) ∫_{4}^{9} \frac{dt}{\sqrt{t} − 1} = 2 + 2 ln 2

(e) ∫_{−1}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} dt = ln 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}

(f) ∫0^{\frac{π}{2}} t^{2} cos t dt = \frac{π^{2}}{4} − 2