\documentclass[multicols]{exo2000}

\title{Khôlle PCSI \numero11 : Taylor, DL, primitives}

\begin{document}
\maketitle
\bigskip

%% \titre{Vrai-faux}
%% \begin{enumerate}
%% \item 
%% \end{enumerate}

\titre{Développements limités}
\begin{enumerate}
\item Calculer les développements limités suivants :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $e^x\sqrt{1+x},\ 3,\ 0$
    \item $e^{-x}\frac{1+x}{x},\ 3,\ 1$
    \item $\sh x(\sin x-x),\ 7,\ 0$
    \item $\frac{e^x}{\sqrt x},\ 3,\ 1$
    \item $(1-\cos x)(1-\ch x),\ 9,\ 1$
    \item $\Arcsin x,\ n,\ 0$
    \item $\tan x,\ 6,\ 0$ (division, puis $\tan'=1+\tan^2$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Calculer les développements limités suivants (composition) :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\sqrt{1+\sin x},\ 3,\ 0$
    \item $\sin(\ln(1+x)),\ 4,\ 0$
    \item $\ln(\cos x),\ 6,\ 0$
    \item $\sqrt{1+\sqrt{1+x}},\ 3,\ 0$
    \item $e^{\sqrt{\ln(\alpha+x)}},\ 2,\ 0\ (\alpha>1)$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Calculer les développements limités suivants (quotient) :
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\tan x,\ 6,\ 0$
    \item $\frac{2+\sin x}{3+\cos x},\ 3,\ 0$
    \item $\frac{\ln(1+\tan x)}{1+\sin x},\ 4,\ 0$
    \item $\frac{\sin x}{\ln(1+x)},\ 3,\ 0$
    \item $\frac{2\tan x-\tan 2x}{(1-\cos 3x)\ln(1+x)},\ 2,\ 0\ (\alpha>1)$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Trouver le développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x\mapsto
  \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2x}$.
\item Trouver le développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de $x\mapsto
  (1+x)^{-k}$, où $k\in\N^\ast$.
\item Soit $f:x\mapsto 1 + x + x^2 + x^3\sin\frac{1}{x}$.

  Prolonger $f$ par continuité en $0$. Montrer que le prolongement
  ainsi obtenu est de classe $\Cn1$ sur $\R$. Montrer que $f$ admet un
  développement limité à l'ordre $2$ en $0$, mais n'est pas deux fois
  dérivables en $0$.
\item Etudier les fonctions suivantes au voisinage de l'infini :
  $$f:x\mapsto x\Arctan(x-1)\qquad g:x\mapsto e^{1/x}\sqrt{x(x+2)}\qquad
  h:x\mapsto \frac{2(x-1)^2}{\sqrt{4x^2+2x+1}}$$
\item Trouver les limites suivantes :
  $$\lim_{x\to0} (\frac{x}{\sin x})^{\frac{x}{x-\sin x}}\qquad
  \lim_{x\to+\infty} (\frac{a^{1/x} + b^{1/x} + c^{1/x}}{3})^x\ 
  (a,b,c>0)\qquad \lim_{x\to+\infty} (\frac{\Arctan(x+1)}{\Arctan
    x})^{x^2}$$
\item Trouver des équivalents en $0$ des fonctions suivantes :
  $$f:x\mapsto \sin(\ln(1+x)) - \ln(1+\sin x) \qquad g:x\mapsto
  \sin(\sh x) - \sh(\sin x) \qquad h:x\mapsto (1+e^x)^x -
  (1+e^{-x})^x$$
\item Trouver $a$ et $b$ de sorte que $\sin x-\frac{x+ax^3}{1+bx^2}$
  soit, en $0$, un infiniment petit d'ordre maximum.
\item Soit $P=X+aX^3+bX^5+cX^7$, et $Q=X+\alpha X^3+\beta X^5+\gamma
  X^7$. Trouver la partie principale du $DL_7(0)$ de $P\circ Q-Q\circ
  P$.
  
  En déduire le développement limité à l'ordre $7$ de $\Arcsin(\Arctan
  x)-\Arctan(\Arcsin x)$.
\item Etudier les fonctions suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item $f:x\mapsto x^{\frac{1}{1+\ln x}}$, étude au voisinage de $1$
  \item $g:x\mapsto \frac{x-1}{x\ln x}$
  \item $h:x\mapsto (1+\sin x)^{\cos x}$, étude au voisinage de $0$
  \item $i:x\mapsto \frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}$, étude au voisinage de $0$
  \item $j:x\mapsto \frac{x^2-x+2}{x+3}e^{-\frac{1}{x}}$, ``tude au
    voisinage de $+\infty$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\titre{Taylor}
\begin{enumerate}
\item Soit $f:\R\to\R$ de classe $\Cn\infty$ telle que $\forall
  n\in\N,\,f^{(n)}(0)=0$ et $\exists\,\lambda>0,\,\forall
  n\in\N,\,\sup_{\R} \abs{f^{(n)}} \le \lambda^n n!$.

  Montrer que $f$ est nulle sur l'intervalle
  $\left]-\frac{1}{\lambda},\frac{1}{\lambda}\right[$, puis sur $\R$.
\item Soit $f:\R\to\R$ de classe $\Cn\infty$ telle que pour tous
  $n\in\N$ et tous $x\in\R$, $f^{(n)}(x)>0$ (fonction absolument
  monotone).
  
  Montrer que $\forall n\in\N,\,\lim_{x\to+\infty}
  \frac{f(x)}{x^n}=+\infty$.
\item Soit $f:\R^+\to\R^+$ de classe $\Cn\infty$ telle que $f(0)=1$,
  et $\forall x\ge\frac{1}{2},\,f(x)=0$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\forall n\in\N,_,\sup_{\R^+} \abs{f^{(n)}} \ge
    2^n n!$.
  \item Montrer que $\forall n\ge1,_,\sup_{\R^+} \abs{f^{(n)}} > 2^n
    n!$ \emph{(étudier la fonction $g:x\mapsto f(x)-(1-2x)^n$)}.
  \end{enumerate}
\item Soit $f:[a,b]\to\R$ de classe $\Cn2$. On note
  $M_2=\sup_{[a,b]}\abs{f''}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\forall
    x\in]a,b[,\,\abs{f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}<M\frac{b-a}{2}$
    \emph{(écrire la formule de Taylor pour $f(a)$ et $f(b)$)}.
  \item Si $\abs{f'(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=M\frac{b-a}{2}$, montrer
    que $f$ est polynômiale de degré au plus $2$ \emph{(étudier
      $f(x)-f(a)-(x-a)f'(a) \pm M\frac{(x-a)^2}{2}$)}.
  \end{enumerate}
\item Soit $f:\R\to\R$ de classe $\Cn{n+1}$. Pour $a$ fixé, on écrit
  la formule de Tayolr-Lagrange :  
  $$f(a+h)=f(a)+\dots+\frac{h^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) +
  \frac{h^n}{n!}f^{(n)}(a+h\theta_h)$$
  Montrer que si
  $f^{(n+1)}(a)\ne0$, alors pour $h$ suffisamment petit, $\theta_h$
  est unique, et que $\theta_h\xra[h\to0]{}\frac{1}{n+1}$
  \emph{(appliquer la formule de Taylor à l'ordre $1$ à $f^{(n)}$ et à
    l'ordre $n+1$ pour $f$, et comparer tout cela)}.
\item Soit $f$ une fonction continue sur $I$ contenant $a$. Montrer
  que pour tout $p\in\N$, il existe une unique fonction $F\in\Cn{p}$
  telle que $\forall k\in\entint{0,p-1},\,F^{(k)}(a)=0$, et
  $F^{(p)}=f$.

  Donner une expression intégrale de $F$, et trouver toutes les
  fonctions $G$ telles que $G^{(p)}=f$.
\item Retrouver la formule du développement limité de l'exponentielle
  en $0$ à l'aide du théorème de Taylor avec reste intégral.
\item Trouver un encadrement de $\sin$ par deux polynômes de degré $5$
  sur $[0,+\infty[$. En déduire des encadrements de $\sin\frac{1}{2}$
  et $\sin\frac{3}{2}$.
\item Ecrire l'inégalité de Taylor-Lagrange pour $f:c\mapsto \ln(1+x)$
  en $0$. Qu'en déduit-on pour $\ln 2$ ?
\end{enumerate}
\newpage
\titre{Primitives}
\begin{enumerate}
\item Calculer les primitives des fonctions suivantes :
  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $f:x\mapsto \frac{1}{x^3-1}$
    \item $g:x\mapsto \frac{1}{x^3+1}$
    \item $h_1:x\mapsto \frac{1}{x^4+1}$, puis $h_2:x\mapsto
      \frac{1}{(x^4+1)^2}$.
    \item $i:x\mapsto \frac{\tan x}{1+\tan x}$
    \item $j:x\mapsto x^k\ln x,\,k\in\N$
    \item $k:x\mapsto e^{\Arcsin x}$
    \item $l:x\mapsto (x^2+x+1)e^{2x}\cos x$
    \item $m:x\mapsto \ln(1+x^2)$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Calculer les intégrales définies suivantes :
  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $\int_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi}{16}$
    \item $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t\cos^3t\dd
      t=\frac{4}{15}$
    \item $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\dd t}{1+\sin t}$
    \item $\int_4^9 \frac{\dd t}{\sqrt t-1}=2+2\ln 2$
    \item $\int_{-1}^1 \sqrt{1+t^2}\dd t = \ln(1+\sqrt2)+\sqrt2$
    \item $\int_0^{\frac{\pi}{2}} t^2\cos t\dd t = \frac{\pi^2}{4}-2$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{enumerate}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
