Khôlle PCSI n^{o} 12 : Espaces vectoriels de dimension finie

Familles libres, familles génératrices, bases

1. Montrer que F = (x, y, z) ∈ ℂ^{3} / \begin{matrix}x + y + z = 0 \\ x + iy − z = 0 \end{matrix} est un sous-espace vectoriel de ℂ^{3}. En déterminer

une base et la dimension.

2. Base et dimension du sous-espace vectoriel F de ℝ^{]_{1},1[} engendré par

f_{1} : x ↦ \sqrt{\frac{1 − x}{1 + x}},  f_{2} : x ↦ \sqrt{\frac{1 + x}{1 − x}},  f_{3} : x ↦ \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} ,  f_{4} :: x ↦ \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}}

3. u = (1, 0, 1, 0) , v = (0, 1, −1, 0) , w = (1, 1, 1, 1) et F = Vect(u, v, w). x = (0, 0, 1, 0) , y = (1, 1, 0, −1) et G = Vect(x, y). Quelles sont les dimensions de F, G, F ∩ G et F + G ?

4. E est un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que deux quelconques des trois propositions suivantes entraîne la troisième :

(i) F ∩ G = {0}  (ii) F + G = E  (iii) dim F + dim G = dim E

5. Pour a ∈ ℝ, on note f_{a} : x ↦ cos (x + a). Soit (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ ℝ^{3}. Déterminer le rang de la famille (f_{1}, f_{2}, f_{3}) dans ℝ^{ℝ}.

6. Soit (u_{1}, …, u_{n}) une base de E. Montrer que (v_{i})_{1⩽i⩽n} avec v_{i} = ∑_{j≠i} u_{j} est une base de E.

Même question avec v_{i} = ∑_{j=1}^{i} u_{j}.

7. Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y′′ + ay′ + by = 0 (où a et b sont deux scalaires) est un espace vectoriel, en déterminer une base et la dimension.

8. Soit E = ℝ^{ℝ}, F = Vect((f_{n})_{n∈ℕ}) et G = Vect((g_{n})_{n∈ℕ}), où f_{n} : x ↦ cos nx et g_{n} : x ↦ cos^{n} x. Montrer que F = G.

9. Soit I fini, et J ⊂ I. Montrer que Vect((x_{j})_{j∈J}) ⊂ Vect((x_{i})_{i∈I}).

10. Montrer que 1, \sqrt{2} est une famille libre de ℝ en tant que ℚ-espace vectoriel, mais pas en tant que ℝ-espace vectoriel.

Montrer que le sous-espace vectoriel engendré est en fait une sous-algèbre de ℝ.

11. Soit (x_{1}, …, x_{n}) une famille libre de E. (x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{3}, …, x_{n} + x_{1}) est-elle libre ?

12. Soit F = {f : ℝ → ℝ, ∃ a ∈ ℝ, ∃ φ ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, f (x) = a cos (x − φ)}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de F (ℝ, ℝ), et en déterminer une base.

13. ω ∈ ℝ^{∗}. F_{ω} = (u_{n}) ∈ ℝ^{ℕ}, ∀n ∈ ℕ, u_{n+2} = ω^{2}u_{n} . Montrer que F_{ω} est un sous-espace vectoriel de ℝ^{ℕ}, et qu’il admet une base formé de deux suites géométriques. Quels sont les coordonnées d’une suite de F_{ω} dans cette base ?

Plus généralement, traiter le problème des suites (u_{n}) solutions d’une équation de la forme u_{n+2} = au_{n+1}+bu_{n}. Terminer les calculs dans le cas a = b = u_{0} = u_{1} = 1 (suite de Fibonacci).

14. Base de Lagrange

Soit (x_{0}, …, x_{n}) une famille de réels distincts deux-à-deux. Montrer qu’il existe un unique polynôme L_{i} de degré inférieur ou égal à n tel que ∀j ∈ [ ; [0, n] ; ] , L_{i} (x_{j}) = δ_{i,j}.

Montrer que (L_{i})_{0⩽i⩽n} est une base de ℝ_{n}[X], et écrire la décomposition d’un polynôme P ∈ ℝ_{n}[X] dans cette base.

15. Base de Taylor On note T_{i} = \frac{(X − a)^{i}}{i!} . Montrer que la famille (T_{i})_{0⩽i⩽n} est une base de ℝ_{n}[X], et écrire la décomposition d’un polynôme P ∈ ℝ_{n}[X] dans cette base.

16. Soit E un 𝕂-espace vectoriel, F une famille finie d’éléments de E. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(a) F est une base de E ;

(b) F est génératrice, et toute famille génératrice contenue dans F est égale à F ;

(c) F est libre, et toute famille libre contenant F est égale à F

17. Soit n ∈ ℕ^{∗}, E_{n} = ℝ_{n}[X]. Montrer que pour tout polynôme Q de E_{n}, il existe un unique polynôme P ∈ E_{n}

tel que Q = ∑_{i=0}^{n} P^{(i)} \frac{X}{2^{i}} .

18. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, H et K deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que dim H = dim K si et seulement si H et K admettent un supplémentaire commun (récurer sur la codimension de H).

Applications linéaires et dimension finie

1. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, f ∈ L (E) tel que ∀x ∈ E, ∃p_{x} ∈ ℕ^{∗}, f^{p_{x}} (x) = x. Montrer qu’il existe p ∈ ℕ^{∗}, f^{p} = Id_{E}. Donner un contre-exemple en dimension infinie.

2. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, f ∈ L (E). Montrer que dim Ker f^{2} ⩽ 2 dim (Ker f).

3. Soient E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2} des 𝕂-espaces vectoriels de dimensions finies, f_{1} ∈ L (E_{1}, F_{1}) et f_{2} ∈ L (E_{2}, F_{2}). On

définit

φ : \begin{matrix}E_{1} × E_{2} & ⟶ & F_{1} × F_{2} \\ (x_{1}, x_{2}) & ⟼ & (f_{1} (x_{1}) , f_{2} (x_{2})) \end{matrix}

Montrer que φ est linéaire et que rg φ = rg f_{1} + rg f_{2}.

4. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomrophismes de E tels que f + g = Id_{E} et rg f + rg g ⩽ dim E. Montrer que f et g sont deux projecteurs associés.

5. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomrophismes de E. Montrer que

rg (f + g) = rg f + rg g ⟺ \begin{matrix}Im f ∩ Im g = \{0\} \\ Ker f + Ker g = E \end{matrix}

6. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomrophismes de E. Montrer que Ker f^{2} = Ker f ⟺ Im f^{2} = Im f ⟺ Ker f ⊕ Im f = E ⟺ Ker f ∩ Im f = {0} ⟺ Ker f + Im f = E

7. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension n, f ∈ L (E). Montrer que Ker f = Im f si et seulement si f^{2} = 0 et n = 2 rg f.

8. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 2. Caractériser les endomorphismes f de E tels que Ker f et Im f ne soient pas supplémentaires.

9. Soit E un 𝕂-espace vectoriel, U un sous-espace vectoriel de E.

• Montrer que si U est de dimension finie, alors ∀f ∈ L (E) , U ⊂ f (U) ⟹ U = f (U).

• Donner un contre-exemple si U n’est pas de dimension finie.

10. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E tels que Ker f + Ker g = Im f + Im g = E. Montrer que les sommes sont directes.

11. Soient E, F, G trois 𝕂-espaces vectoriels, G étant de dimension finie.

(a) Soient u ∈ L (F, E) et v ∈ L (G, E). Montrer qu’il existe h ∈ L (G, F) tel que v = u ∘ h si et seulement si Im v ⊂ Im u.

(b) Soient u ∈ L (E, F) et v ∈ L (E, G). Montrer qu’il existe h ∈ L (G, F) tel que u = h ∘ u si et seulement

si Ker v ⊂ Ker u.

12. Soit E un ℝ-espace vectoriel de dimension finie. Le centre de L (E) est par définition :

Z = {f ∈ L (E) , ∀g ∈ L (E) , f ∘ g = g ∘ f} (a) Soit f ∈ L (E) et x ∈ E. Si (x, f (x)) est libre, montrer qu’il existe g ∈ L (E) telle que g (x) = x et

g ∘ f (x) = −f (x).

(b) En déduire que Z est l’ensemble des homothéties.

(c) Déterminer Z′ = {f ∈ L (E) , ∀g ∈ Gl (E) , f ∘ g = g ∘ f}.